总体参数的估计

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学习/心理学

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本章概览

• 参数估计的步骤与假设检验基本相同，但是在逻辑上有差别。假设检验试图否定虚无假设，而参数估计则是对于总体参数的值作有根据的猜测。此外，在假设检验得出显著性的基础上，参数估计也能进一步帮助我们确定这种显著的变化的具体数量。本章，我们将从点估计、区间估计出发，估计四种情况下的总体均值。

学习要点

1. 了解区间估计和假设检验的联系
2. 掌握点估计的逻辑与缺点
3. 掌握区间估计的逻辑
4. 学会对方差已经情况下、方差未知情况下总体均值进行估计
5. 学会对独立组总体均值差异、相关组总体均值差异进行估计
6. 掌握影响置信区间宽度的因素

点估计

点估计就是用单一的数值对总体的未知参数进行估计，我们用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差，用的就是点估计。如果一个估计量的抽样分布的均值与被估计的参数相等，我们称其为无偏的。而当一个估计量在样本容量趋于无穷时趋于被估计的参数，那我们便称其为一致的。

此处需要注意，一致与无偏是两个概念，无偏估计指的是当样本的组数无限增加时，统计量趋于被估计量，而一致性指的是当样本容量无限增多时，统计量趋于被估计量。

区间估计

• 方法产生的原因：相比点估计，需要有更大的机会使估计准确
• 区间估计的定义：指明一个区间以及这个区间覆盖总体未知参数的概率的估计方法（相应的概率称为置信度 $1-\alpha$）。
• 置信度与置信区间的关系： 置信度越高，置信区间越宽。即对估计越有把握，估计就越不准确。
• 置信区间的一般公式：点估计 ± (临界值)(标准误)

方差已知情况下总体均值的估计

• 当（成正态分布的）总体的均值 $\mu$ 和方差 ${\sigma }^2$ 已知时，容量为 $n$ 样本均值的分布随之确定，服从均值为 $\mu$、方差为 ${\sigma }^2/n$ 的正态分布。
• 根据样本方差均值的分布，可知：总体均值 $\mu$ 是样本均值的最佳点估计；置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间可由相应 $z$ 分数确定。

方差未知情况下总体均值的估计

• 在这种情况下，总体的方差 $\sigma$ 未知，我们可以用样本均值的标准误来估计总体方差。
• 这时我们采用 t 检验，误差区间的大小为相应置信水平下的 $t_{crit}$。
• 利用 t 检验的公式 $t={\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu }{S_{\bar{X}}}}$ 可以得出总体均值 $\mu$ 的估计区间。

独立组总体均值差异的估计

• 用样本均值差去估计总体均值差
• 两个独立样本的置信区间估计：

$$\overline{X_1}-\overline{X_2}\pm t_{\alpha /2}{S}_{(\overline{X_1}-\overline{X_2})}$$

相关组总体均值差异的估计

1. 求出两总体均值的点估计：$\bar{D}=\bar{X}-\bar{Y}$

2. 用标准误估计差异样本均值的方差：$S_{\bar{D}}={\displaystyle \frac{S}{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{{\displaystyle \frac{S{S}_D}{df}}}}{\sqrt{n}}}$

3. 求出枢轴量： $t={\displaystyle \frac{\bar{D}-{\mu }_D}{S_{\bar{D}}}}$

4. 根据置信区间求出 t 的临界值 $t_0$

5. 置信区间为 $[\bar{D}-t_0{S}_{\bar{D}},\bar{D}+t_0{S}_{\bar{D}}]$

影响置信区间宽度的因素

• 样本量 样本量越大，估计量的标准误越小，于是置信区间的宽度越小。此外，对于采用t分布的区间估计，样本量还会影响t分布的自由度，进而影响置信区间。对一般的区间估计，如果不引进估计量的标准误的概念，样本对区间宽度仍然有影响。样本量越大，置信区间的宽度就越小，反之亦然。

• 置信度 规定的置信度越高，那么置信区间就会变宽，但是相应地，准确度就会降低，反之亦然。

• 样本方差 一般来说，样本数据的方差越大，对于相同的置信度，所需要的覆盖区间也就越宽。

区间估计和假设检验的联系

1. 若总体参数 $\theta$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间为 $[a,b]$，则对于区间 $[a,b]$ 内的任意一点 ${\theta }_0$，在显著性水平为 $\alpha$ 的假设检验问题的结果一定是接受$H_0$。

• 令 $\alpha =0.05$，则在一个正态分布中，左右两端对称的极端值占5％，拒绝 $H_0$；中间的95％是置信区间 $[a,b]$，接受$H_0$

2. 区间估计所使用的枢轴量和假设检验所使用的统计量往往形式一样、分布相同。

• 唯一的区别在于在区间估计中，枢轴量含有未知参数

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芷沐沐

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